ریاضی و زندگی

اگر تا به حال با قطار سفر كرده باشيد، حتماً متوجه شده‌ايد سرپيچ‌ها، جايي كه قطار مي‌پيچد، ريل‌هاي راه‌آهن خميدگي دارند. مانند شكل زير:

(خميدگي روي قسمت هاي BC و است.)
مي‌دانيم كه هر دو چرخ مقابل قطار داراي محور مشترك هستند. (يعني سرعت چرخش چرخ‌ها مساوي است). آيا تا به حال فكر كرده‌ايد كه چگونه قطار مي‌تواند مسيري را طي كند كه طول دو ريل آن نامساوي باشند؟(قسمت هاي BC و طول نامساوي دارند.)
قبل از اين كه جواب اين سؤال را بدهيم، بايد مطلب زير را بدانيم:
يك مخروط در نظر بگيريد :

اگر از قسمت بالايي مخروط،يك مخروط كوچك‌تر برداريم :

به شكلي كه در قسمت پايين مي‌ماند، مخروط ناقص مي‌گوييم و دو قاعده دارد :

حالا كه با مخروط ناقص آشنا شديم، مي‌توانيم جواب سؤال فوق را بيان كنيم:
چرخ‌هاي قطار، به صورت مخروط ناقص هستند و دقيقاً به همين علت است كه قطار مي‌تواند روي ريل خميده حركت كند. شكل زير نحوه‌ي قرار گرفتن چرخ‌هاي قطار روي ريل‌ها را نشان مي‌دهد:

زماني كه قطار روي قسمت‌هاي AB و (كه خميدگي ندارند)حركت مي كند، اگر از بالاي چرخ سمت راست به آن نگاه كنيم، آن را به صورت مخروط ناقص KLMNمي‌بينيم. پاره‌خط KN نمايش دايره‌اي است كه قاعده‌ي كوچك مخروط ناقص مي‌باشد و پاره‌خط LM نمايش دايره‌اي است كه قاعده‌ي بزرگ مخروط ناقص است ، پاره‌خط RS نمايش دايره‌اي از چرخ سمت راست است كه با AB تماس دارد . اگر از بالا به چرخ سمت چپ نگاه كنيم آن را به صورت مخروط ناقص مي‌بينيم كه در آن پاره‌خط نمايش دايره‌اي از چرخ سمت چپ است كه با تماس دارد.
تا وقتي قطار روي قسمت‌هاي AB و حركت مي كند، تماس چرخ سمت راست با AB، روي محيط دايره به قطر RS است و تماس چرخ سمت چپ با روي محيط دايره به قطر است.(=RS )امّا زماني كه قطار به مسير خميده‌ (قسمت‌هاي BC و ) وارد مي‌شود،تماس چرخ سمت راست با BC روي محيط دايره به قطر است به طوري كه طول كم تر از طول OI است.(I,به ترتيب وسط هاي RS وهستند.) در مورد چرخ سمت چپ هم، تماس چرخ با روي محيط دايره‌ به قطر است به طوري كه طول بيش تر از طول است.(و به ترتيب وسط هاي وهستند.) اما همان‌طور كه در شكل مي‌بينيد . بنابراين: . پس در هر چرخش ،طول مسيري كه چرخ سمت راست طي مي كند، كم تر از طول مسيري است كه چرخ سمت چپ طي مي كند و بنابراين دو چرخ هم محور،قسمت هاي BC و(كه داراي طول نامساوي هستند) را در يك زمان مي‌پيمايند.

منبع: كتاب هندسه دلپذير

!! نوشته شده توسط یگانه آقا محمدی بناب | 19:4 | سه شنبه سوم شهریور 1388 •

چرخ قطار

به شكلي كه در قسمت پايين مي‌ماند، مخروط ناقص مي‌گوييم و دو قاعده دارد :

منبع: كتاب هندسه دلپذير

!! نوشته شده توسط یگانه آقا محمدی بناب | 19:4 | سه شنبه سوم شهریور 1388 •

هشت موضوع شگفت انگيز از زندگي آلبرت انيشتن

هشت موضوع شگفت انگيز از زندگي آلبرت انيشتن، كه شما هيچ گاه آنان را نمي دانستيد. بله،همگي ما مي دانيم كه انيشتن اين فرمول [e=mc2] را كشف كرد. اما واقعيت آن است كه چيز هاي كمي در مورد زندگي خصوصي اش مي دانيم،خودتان را بااين هشت مورد،شگفت زده كنيد!

کلیک کنید

!! نوشته شده توسط یگانه آقا محمدی بناب | 16:57 | دوشنبه بیست و پنجم خرداد 1388 •

ابولفا بوزجانی

محمّد بن محمّد بن يحيي بن اسماعيل بن عباس ، معروف به ابوالوفاي بوزجاني، رياضي‌دان و اخترشناس سده‌ي چهارم هجري قمري در اول رمضان 328 در بوزجان (تربت جام امروزي)، در مرز خراسان و افغانستان زاده شد. مقدمات رياضيات زمان را، همان‌جا، نزد دايي و عمويش فرا گرفت. در سن 20 سالگي به بغداد رفت و نزد اساتيد مختلفي به تحصيل خود ادامه داد. وي پس از مدتي به يكي از دانشمندان مشهور زمان خود تبديل شد و با دانشمندان هم‌عصر خود، مكاتبات علمي داشت.به عنوان مثال:وقتي ابوريحان در خوارزم بود، براي رصد همزمان گرفتگي ماه، با بوزجاني كه در بغداد بود، قرار گذاشتند تا نتيجه‌ي دو رصد كه در دو نقطه‌ي مختلف انجام مي گرفت را با هم مقايسه كنند. ابوالوفا بر بسياري از آثار پيشينيان (ايراني و يوناني) مثل "مقدمات" اقليدس، "جبر و مقابله" خوارزمي، "جبر" ديوفانت، "مجسطي" بطلميوس و غيره تفسير نوشت. خود نيز ابتكارات و نوآوري‌هاي بسياري در هندسه و مثلثات دارد. سرانجام وي در سوم رجب 388 در بغداد درگذشت.
آن چه كه در آثار ابوالوفا جلب توجه مي‌كند توجه خاص او به كاربرد آثارش است. به طور مثال وي در كتاب حساب عملي خود، دو بخش اول را به بحث‌هاي نظري اختصاص مي‌دهد و سپس، از بخش سوم تا هفتم، تلفيقي از رياضيات نظري و كاربردي را مطرح مي‌كند. دو كتاب ديگر بوزجاني به نام هاي :"آن چه از علم حساب مورد نياز كاتبان و حسابگران است" و "آن چه از اعمال هندسي مورد نياز صنعتگران است"، نمونه‌هاي مشخصي از نوع كاربردي رياضيات اين دوره است. بوزجاني در كتاب اعمال هندسي خود به شكل‌هاي فضايي هم مي پردازد و به خصوص درباره‌ي رسم شكل روي كره و ساختن چند وجهي‌هاي منتظم و نيمه‌منتظم، مسأله‌هاي متعددي را حل مي‌كند. در ضمن شكل‌هاي زينتي هندسي را هم كه در گل‌دوزي، قالي‌بافي و كاشي‌كاري، كاربرد دارند،فراموش نمي‌كند.
جرج سارتن(مورخ مشهور)نيمه ي دوم سده‌ي دهم ميلادي (نيمه‌ي دوم سده‌ي چهارم قمري) را "عصر ابوالوفا" مي‌نامد. در اين دوره، اروپا دچار پراكندگي، كشمكش و زد و خوردهاي قومي بود. اروپايي كه نظام ارباب رعيتي از يك طرف و تسلط آموز‌ش‌هاي كليسا از طرف ديگر،راه را بر هرگونه پيشرفت دانش بسته بود .

در شرق،حكومت خليفه ي بغداد دچار ضعف و تزلزل شده بود و مردم در فقر و نگراني به سر مي بردند.چين،هند و ژاپن نيز در ركود علمي بودند.

در چنين شرايطي، در ايران وضع به گونه‌اي ديگر بود.در زمان تولد ابوالوفا، سامانيان بر خراسان تسلط داشتند كه به زبان و ادب فارسي و سنت‌هاي ايراني علاقمند بودند.به جز اين، سامانيان نسبت به مذاهب ديگر سخت گير نبودند و اين، زمينه را براي آرامش دانشمندان و رونق گرفتن دانش فراهم آورد. در اين دوره،تعداد دكان‌هاي كتاب‌فروشي افزايش يافت،كتابخانه‌هاي بزرگي ساخته شدند و مدرسه‌هايي براي تعليم دانش پديد آمدند. در اين دوره دانشمندان بزرگي نظير:ابوريحان بيروني و ابن‌سينا مي‌زيسته‌اند. رياضي‌دانان ايراني در اين دوره، تنها مترجمان و مفسران رياضيات يوناني نبودند، بلكه خود يك دوره‌ي كامل از تكامل رياضيات را شكل دادند .

منبع: سرگذشت رياضيات
نوشته ي: پرويز شهرياري

!! نوشته شده توسط یگانه آقا محمدی بناب | 22:26 | شنبه دوازدهم اردیبهشت 1388 •

تبریک سال نو

عذر خواهی مرا به خاطر اینکه سال نو را دیر تبریک گفتم

ببخشید.آخه مسافرت بودم.

آخرش بهار رفت و سیاهیش برای ما موند.(امضا:حاجی فیروز)

سال نو مبارک

!! نوشته شده توسط یگانه آقا محمدی بناب | 0:23 | جمعه هفتم فروردین 1388 •

بازی جدید

در شهر بازي‌ها، هر سال مراسم جشني برگزار مي‌شود تا بازي‌هاي جديدي كه در طول سال كشف شده‌اند، در آن جا معرفي شوند. يكي از بازي‌هايي كه امسال خيلي مورد استقبال قرار گرفت ، بازي 15 بود. مجري بازي مدام فرياد مي‌زد:«مردم! بياييد و اين بازي ساده را آزمايش كنيد. كافي است سكه‌هايي را به نوبت روي عددهاي 1 تا 9 قرار دهيم، چه شما بازي را شروع كنيد و چه من ، فرقي نمي‌كند. شما براي بازي از سكه‌هاي يك توماني و من از سكه‌هاي طلا استفاده مي‌كنم. هر يك از ما كه بتواند زودتر از ديگري، سكه‌هايش را روي سه عدد متفاوت كه مجموع آن‌ها 15 باشد، قرار دهد، همه‌ي سكه هاي روي ميز را برنده خواهد شد.(شرط كار اين است كه بر هيچ خانه اي نبايد دو سكه قرار گيرد)»

ميز بازي

در بين جمعيت، مرد جواني فرياد زد: «من حاضرم» و بازي را با قرار دادن يك سكه‌ي يك توماني روي خانه‌ي 7 آغاز كرد. حالا نوبت مجري بود.او يك سكه‌ي طلا روي خانه‌ي 8 قرار داد ، حركت بعدي اين مرد، قراردادن يك سكه ي يك توماني روي خانه ي 2 بود تا بتواند در نوبت بعد با قرار دادن يك سكه ي يك توماني ديگر روي خانه ي 6، بازي را به نفع خود تمام كند. اما مجري با قرار دادن يك سكه‌ي طلا روي خانه‌ي 6 راه برنده شدن او را بست. حالا مجري مي‌توانست با قرار دادن يك سكه ي طلا روي خانه‌ي 1 در حركت بعدي بازي را ببرد. مرد جوان نيز متوجه همين خطر شد و با گذاشتن سكه‌ي يك توماني روي خانه‌ي 1، سعي كرد جلوي برنده شدن مجري را بگيرد.مجري در حالي كه لبخندي به لب داشت،سكه‌ي طلا را روي خانه‌ي 4 قرار داد. مرد دوباره متوجه خطر شد. پس با قرار دادن سكه‌ي يك توماني روي خانه‌ي 5 راه برنده شدن او را بست. اما مجري،در نهايت سكه‌ي طلاي خودش را روي خانه‌ي 3 گذاشت و برنده شد. چرا كه مجموع عددهاي 8 و 4 و 3 برابر 15 مي‌شود. بنابراين مرد جوان 4 تا از سكه‌هايش را از دست داد.
بعد از اين ماجرا،‌نوجوان باهوشي كه شاهد بازي بود، سخت به فكر فرو رفت. چگونه مجري توانست بازي را با اين كه خودش شروع‌كننده‌ي آن نبود به نفع خود تمام كند؟ سؤالاتي از اين قبيل، ذهن نوجوان را سخت مشغول خود كرده بود و سرانجام توانست كليد برنده شدن در بازي را به دست آورد. اما چگونه؟
كليد بازي:
براي برنده شدن در اين بازي توجه به 2 نكته اهميت دارد. اول، آشنايي با بازي X-O (كه آن را "دوز بازي" نيز مي گويند .) و دوم، مربع جادويي 3×3 .
مربع جادويي، در حالت كلي، مربعي است كه مجموع اعداد هر سطر،هر ستون‌ و هر يك از دو قطر آن ،برابر هستند .در اين جا يك مربع جادويي 3×3 را آورده ايم:

همان‌طور كه مي‌بينيد، حاصل جمع اعداد هر سطر،هر ستون‌ و هر يك از دو قطر آن برابر 15 است. حال به خوبي مي‌توان ديد كه يك بازي 15 درست مثل يك بازي X-O است كه روي مربع جادويي انجام مي شود.
همان‌طور كه مي‌دانيد در يك بازي X-O ، اگر دو طرف اندكي به بازي تسلط داشته باشند، ديگر امكان برد براي كسي وجود نخواهد داشت و معمولا" در پايان، نتيجه‌ي مساوي به دست مي‌آيد. اما در اين جا چون فقط يك طرف بازي (مجري) مي‌داند كه در حال انجام يك بازي X-O است، به راحتي از آن براي پيروزي خود استفاده مي‌كند. يعني مجري، اين مربع را به خاطر مي‌سپارد يا در جايي يادداشت مي‌كند. پس در حين بازي با فرد مقابل، درست مثل اين است كه يك بازي X-O انجام مي‌دهد و شانس زيادي براي پيروزي دارد.(ممكن است نتيجه ي بازي به طور تصادفي مساوي شود) براي آشنايي بيش تر شما با اين روش، دوباره بازي مجري و مرد جوان را بررسي مي‌كنيم ولي از ديد بازي X-O و مربع جادويي:

به عنوان تمرين بازي 15 را با دوست خود انجام دهيد. يك بار بدون استفاده از كليد بازي و يك بار هم با استفاده از آن.

منبع: مجله ي گنجينه‌، شماره‌ي 9

!! نوشته شده توسط یگانه آقا محمدی بناب | 9:40 | پنجشنبه بیست و ششم دی 1387 •

يك ماهي و دو مرغ ماهي خوار

يك ماهي و دو مرغ ماهي خوار

دودرخت در طرفين رودخانه اي به فاصله ي 25متر از هم ،قرار دارند كه بلندي يكي 10متروديگري 15متراست. دربالاي هر درخت يك مرغ ماهي خوار نشسته است .ناگهان آن دو همزمان يك ماهي را ...

دودرخت در طرفين رودخانه اي به فاصله ي 25متر از هم قرار دارند كه بلندي يكي 10متروديگري 15متراست. دربالاي هر درخت يك مرغ ماهي خوار نشسته است .ناگهان آن دو همزمان يك ماهي را روي خط واصل پاي دو درخت در سطح آب مشاهده مي كنند و با هم شروع به پرواز مي كنند .هر يك روي يك خط مستقيم با سرعت هاي يكسان به سوي ماهي يورش مي برند ودر يك لحظه خود را به آن مي رسانند.با اين داده ها آيا مي توانيد بگوييد فاصله ي ماهي از درخت بلند چقدر است ؟